Tomados
tres naturales
que
sean consecutivos,
ni
muy grandes ni cativos,
y
por supuesto no iguales
y
al cubo son elevados
que,
como todos sabéis,
se
trata de elevar a tres,
y
sumo los resultados,
Haga
sol o llueva o nieve
lo
que se obtiene al final
es
otro valor natural
que
es un múltiplo de nueve.
(n-1)3+n3+(n+1)3 = múltiplo de 9
Demostración (por inducción)
Cierto para n=1, puesto que 9 es
múltiplo de 9
Lo suponemos cierto para n-1,
esto es:
(n-2)3+(n-1)3+n3
es múltiplo de 9
n3-6n2+12n-8+n3-3n2+3n-1+n3
es múltiplo de 9
2n3-9n2+15n-9
es múltiplo de 9
2n3-9n2+6n+9n-9 es múltiplo de 9
2n3+6n es múltiplo de
9, que es nuestra hipótesis de inducción.
Lo probaremos para n
(n-1)3+n3+(n+1)3=
n3-3n2+3n-1+n3+
n3+3n2+3n+1 = 2n3+6n-9
Como por la hipótesis de
inducción