23 dic. 2015

¡Feliz Navidad!



31 dic. 2014

Problema típico


En la granja de María
las gallinas picotean
y a coro cacarean
anunciando el nuevo día.

Conejos corren a pares
y si realizas la cuenta
obtendrás unas doscientas,
en total, extremidades.

A la hora de contar
las aves más los conejos
un número aquí te dejo:
Setenta, que es cifra par.

Ante tales datos dados
comprobemos si adivinas
la cantidad de gallinas
que pululan por el prado.




Y ya puestos en faena
no sería mal consejo
que me digas los conejos
que hay en este problema.

Puedes cambiar los datos
y donde gallinas caben
se puede cambiar el ave
por ocas, gansos o patos.

Los conejos o conejas
podrían ser transformados,
en el presente enunciado,
en corderos o en ovejas.

Solo patas y espolones
hay que considerar,
tan solo has de plantear
un sistema de ecuaciones.

J.M. Ramos  Pontevedra, 31 diciembre 2014.


27 nov. 2013

Poesía Matemática



POESÍA MATEMÁTICA
(Remitida por León y M. Luciente, y dedicada a una de las “dos viudas consoladas”)


El verso y las matemáticas
expuestos en una idea,
son nuevos en nuestro siglo,
y yo voy a hacer la prueba
de la casquivana musa
mezclar, con la exacta ciencia,
y refundir un romance
con el siguiente problema:
Murió un padre de familia
(¡pobrecito… qué ocurrencia!)
dejando una cantidad
en casa de banca impuesta,
que rentaba el diez por ciento
mientras en ella estuviera;
con la condición precisa
de que se hiciese la entrega
a todos los herederos
de la parte de la herencia
que, según la voluntad
del finado, les cupiera,
acumulando los réditos
del capital en sus cuentas.
Transcurridos los dos años,
el primer pariente llega,
y le dan justa su parte:
seis mil cincuenta pesetas.

A los tres años llegó
por su cuenta una heredera,
que no porque era mujer
se le iba a dejar por puertas,
y la dieron a la pobre,
justas, ocho mil seiscientas
cincuenta y una beatas
y con céntimos cincuenta.
Transcurre un lustro, y al fin
el último de ellos llega,
y aunque fue tarde y con daño
le dan su parte en pesetas
dieseis mil ciento cinco
con diez céntimos… en perras.
Si el verso no ha complacido
y gusta, en cambio, la idea,
en solucionar el caso
calentarse la cabeza,
¡oh lectores del HERALDO
versados en artimética!,
diciendo qué cantidad
formó el total de la herencia,
y el modo de repartirse
que el difunto dispusiera.


Publicada en el Heraldo de Madrid, 17 de abril de 1903.

SOLUCIÓN: Capital total: 21500. Distribución: 1º hijo: 5000; 2º hijo: 6500; 3º hijo: 10000


5 ago. 2013

Problema



Tomados tres naturales
que sean consecutivos,
ni muy grandes ni cativos,
y por supuesto no iguales

y al cubo son elevados
que, como todos sabéis,
se trata de elevar a tres,
y sumo los resultados,

Haga sol o llueva o nieve
lo que se obtiene al final
es otro valor natural
que es un múltiplo de nueve.

 
(n-1)3+n3+(n+1)3  = múltiplo de 9

Demostración (por inducción)

Cierto para n=1, puesto que 9 es múltiplo de 9
Lo suponemos cierto para n-1, esto es:

(n-2)3+(n-1)3+n3 es múltiplo de 9
n3-6n2+12n-8+n3-3n2+3n-1+n3 es múltiplo de 9
2n3-9n2+15n-9 es múltiplo de 9
2n3-9n2+6n+9n-9  es múltiplo de 9
2n3+6n es múltiplo de 9, que es nuestra hipótesis de inducción.

Lo probaremos para n

(n-1)3+n3+(n+1)3=
n3-3n2+3n-1+n3+ n3+3n2+3n+1 = 2n3+6n-9
Como por la hipótesis de inducción
2n3+6n es múltiplo de 9, entonces 2n3+6n-9 es múltiplo de 9, como queríamos demostrar.

José M. Ramos González. 
Cádiz, agosto 2013 

24 mar. 2013

Diálogo Geométrico




Pieza cómica en un acto

PERSONAJES
Un triángulo, una circunferencia, Pitágoras, coro de reglas y compases.

Escena única

Un triangulo rectángulo se encuentra apoyado sobre su ángulo recto. Frente a él, mirando hacia la hipotenusa, se encuentra una circunferencia. Pitágoras los observa fascinado.


TRIÁNGULO
Me encuentro desconcertado
Ante tu redondo cuerpo
Pues por mucho que me esfuerzo
No veo ni un solo lado.
Y esas curvas tan angélicas
y bonitas me enamoran
Supongo que a ti te adoran
Muchas figuras geométricas.
De vértices tienes cero,
Por lo que tu contacto
Seguro será de facto
Un roce muy placentero.
Súbete a mi hipotenusa
y déjate luego caer
te producirá placer
¡ya verás como te gusta!

CIRCUNFERENCIA
Te voy a decir amigo
Y no de muy malos modos,
Que de los polígonos todos
Tú eres el más sencillo.
Y para colmo de males
Tus lados son discordantes
No resultan elegantes
Pues no los tienes iguales.
No me gustan los objetos
Que presumen de palmito
Sin tener nada bonito
Y no ser nada perfectos.
Y un detalle pequeñito
Que quede claro yo quiero:
Vértices no tengo cero
Sino que tengo infinitos.

PITÁGORAS
Está en lo cierto, es verdad
Que si vértices aumento
Sin parar el incremento
Hasta infinito llegar
El polígono regular
Se torna circunferencia
Eso me dice la ciencia
Que me sale al razonar.
Sin embargo mis sentidos
Contradicen ese aserto
Porque si miro yo advierto
Que los vértices se han ido
Por tanto concluyo y grito
que todo vuélvese confuso
sobre todo cuando uso
el concepto de infinito.

TRIÁNGULO 
 (Dirigiéndose a la circunferencia)
¿Qué no soy perfecto dices?
Craso error el que cometes
No me pongas en un brete
ni me toques las narices.
Te daré una información
Que es muy veraz y muy plena
Y es que existe un teorema
Que fama me proporcionó.
¿Que soy inelegante yo?
No me digas esas cosas
Tengo una relación hermosa
Que Pitágoras halló.
Si tomamos mis tres lados
Tenemos una igualdad
Que resulta una beldad
Elevando a sus cuadrados.
¡Pitágoras, sal de tu ensueño
Enuncia ese resultado
Que relaciona mis lados
Y ponle un poco de empeño!

PITÁGORAS (enfático)
En un triángulo dado
que tenga un ángulo recto
formado por dos catetos
que son a y b llamados,
enfrente está otro lado
que se llama hipotenusa,
que normalmente se usa
la c para ser indicado.
Y entre estos tres lados
existe una relación
famosa sin parangón
que yo mismo he demostrado:
La suma de los cuadrados
de los catetos a y b,
no hace falta tener fe
para creer que el resultado,
como dice el teorema,
es igual por lo que sé
a la hipotenusa c
cuando al cuadrado se eleva.

CIRCUNFERENCIA
Todo eso es baladí
Y darías mucha pena
si irrumpiese en escena
un número llamado pi.

PITÁGORAS
En la historia de la ciencia
Y pese a mi amplia cultura
¿De que habla esa figura
Que se me escapa su esencia?
¿Cómo se explica que a mi
Que soy hombre puro y recto
Se me oculte por completo
Ese tal número pi.
Tal vez de Pitágoras venga
Y me honren de repente
llamando pi a ese ente
que alguna magia contenga.


CIRCUNFERENCIA
Poco a poco, poco a poco
que cuando pi sea visible
es muy, pero muy posible
que el hombre se vuelva loco.
Pues es número especial
De infinitos decimales
Y para colmo de males
Es número irracional.
Pese a muy doctos ser
Y genios en Geometría
No os encontráis todavía
Preparados para él.

PITÁGORAS
Dime circunferencia pura
Por qué se me niega a mi
Descubrir a ese tal pi
Que ronda por tu figura.


CIRCUNFERENCIA
Confórmate con la gloria
Que el teorema te ha dado
Con tu nombre designado
pues pasarás a la historia.
Y para la ciencia futura
Dejemos a pi pendiente,
mientras tanto que se intente
Del círculo la cuadratura.
A ver si llega la ocasión
En que sepan los humanos
que lo que intentan es vano
pues no tiene solución.
Y precisamente ahí
En esa irresolución
Se encuentra la explicación
De la existencia de pi.

PITÁGORAS
¿Cómo no va a ser posible
Convertirte en un cuadrado
Te verás muy deformado
Pero parece factible.

CIRCUNFERENCIA
Aparte de no quererlo
Insisto que no te miento,
Y te repito por cientos
La imposibilidad de hacerlo.

TRIÁNGULO
No creo tu afirmación.
Si me aplasto me convierto
En una línea, por cierto
Cambiando de dimensión.
Es proeza cual ninguna
Que de dimensión dos
En lo que se echa una tos
Pase a dimensión una.

CORO DE REGLAS
Con nuestros palmitos rectos
Y tan longitudinales
Trazan todos los mortales
Segmentos que son perfectos.

CORO DE COMPASES
Con nosotros no hay quien pueda
Porque antes de nuestra presencia
¿Acaso existió la ciencia
Sin la invención de la rueda?

PITÁGORAS
Seréis pues lo que queráis
Pero muy a mi pesar
Curvas no puedo cuadrar
ni con regla ni compás.

REGLAS Y COMPASES
Son muchas nuestras funciones
A lo largo de los siglos,
Por eso constituimos
La enseña de los masones.
Y si cuadrar no es factible,
Un circulo con nuestras artes
En lugar de lamentarte
Piensa que es imposible.

TRIÁNGULO
Gracias regla, diosa mía
Enviada por los hados
Sin ti no tendría lados
Y no sé lo que sería.

CIRCUNFERENCIA
Oh gran compás muchas gracias
Que te sostienen dos patas
Una en el centro se aguanta
Y con la otra me trazas.

PITÁGORAS 
 (dirigiéndose al público)
A tantas lisonjas oír
Me da la impresión señores
Que me salen los colores
Y que debo de partir.

TODOS
Ya nos vamos del proscenio
Porque ya hablamos bastante
Ahora toca al estudiante
Valorarnos con su genio.

Se cierra el telón.


José M. Ramos González
Pontevedra, 12 enero 2013