13 feb 2021

El ciego exagerado (Problema opaco)

      Presentaron a un ciego en una Reunión de señoritas. Engañado por el ruido que estas hacían, se dirigió a ellas saludándolas en estos términos:
     - Buenas noches, mis veinticuatro hermosas señoritas.
     -No somos veinticuatro - contestó la mas avispada - pero si fuésemos cinco veces tantas como somos, nuestro número excedería de veinticuatro, tanto como le falta para llegar a él.
     Cayó el ciego en profunda meditación, y, por último, dijo tristemente:
     -Es para mí más difícil saber cuantas señoritas sois, que el ver la luz del día, y soy ciego.         ¿Cuántas eran aquellas traviesas señoritas?


Publicado en La Actualidad (Diario de Pontevedra) 8 de octubre de 1895.

Solución:

Sea x el número de señoritas.  Sea y el número que falta a x para llegar a 24, es decir: x + y = 24.  Si fuesen 5x superarían en 24 a  y,  es decir que  5x - 24 = y. 
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por x + y = 24  y por  5x - 24 = y,  obtendremos que x es 8.   HABÍA 8 señoritas.




14 dic 2020

Pisto matemático. Reflexiones

      Einstein dijo: Dios no juega a los dados. Pensad en Dios jugando a los dados o a cualquier juego de azar y sabiendo previamente los resultados que van a salir debido a su Omnisciencia. Obviamente ningún Casino podría admitirlo en sus dependencias so riesgo de quiebra absoluta. Por lo que pienso que para un matemático la frase de Einstein es una trivialidad; algo así como decir que dos y dos son cuatro. Está claro que Dios no juega a los dados, le resultaría enormemente aburrido. Dios es el único que puede convertir por omnisciencia, un fenómeno aleatorio en determinístico al saber siempre el resultado que se va a obtener antes de realizar el experimento. Por lo tanto, jugar con Dios a los dados sería como jugar al póker con alguien cuya vista fuese capaz de hacer transparentes las cartas. Dejaría de convertirse en un juego tal y como lo concebimos, perdiéndose por completo el placer de la sorpresa que produce la aleatoriedad.

Pero Dios es un ente muy complejo, y con Él nos topamos con paradojas que son consecuencia de su eternidad.  Los agnósticos no se pronuncian por reconocer modestamente su ausencia de conocimientos para decidir. Los católicos creen en un Dios que nos hizo a su imagen y semejanza. En esta última concepción nos encontramos algunas curiosidades que merecen ser analizadas. Nuestro Dios, y hablo de la civilización occidental, es infinitamente justo pero al mismo tiempo infinitamente misericordioso. Me veo incapaz de conjugar ambos conceptos llevados al infinito. Supongamos que un asesino mata a otra persona por pura diversión. Como Dios es infinitamente justo lo condenaría, pero como es infinitamente misericordioso debería perdonarlo. Pero esto no es todo. Sabemos que nuestro Dios es Todopoderoso y Eterno. Ambas posibilidades son contradictorias ¿por qué? porque sencillamente no se podría suicidar.

 No pretendo ser irreverente y espero no ofender a las personas que creen en Dios. Incluso los ateos al negar su existencia están afirmando su esencia, lo cual no es negarlo por completo ¿Cómo encajar toda esta aparente filosofía en un monólogo matemático? Antes una breve disquisición lingüística: tanto etimológica como filosóficamente, esencia y existencia son conceptos diferentes. La lengua española es rica, aparte de por su difusión mundial, por poseer dos verbos: ser y estar, cosa que no ocurre con el inglés, el francés o el alemán que solo tienen el to be, être y sein respectivamente, lo que nos permite comprender más fácilmente la diferencia entre la esencia y la existencia. Yo existo y soy, al menos eso creo, pero para un ateo Dios es pero no existe. Un gnomo es, pero no se le espera, es decir no está…No sé si os quedó claro.

Pues bien, pensad en un triángulo equilátero. Lo que en vuestra mente está forjándose es un triángulo pero no está en la realidad. No hay un triángulo rectángulo real, porque si lo construyésemos sus lados tendrían grosor y no sabríamos si medir su superficie por el interior o por el exterior. Y lo que digo para un triángulo rectángulo sirve para cualquier figura geométrica básica. Un punto, o una línea no están, pero son. Una línea recta en nuestro mundo material tiene un grosor que la convierte en una superficie de dos dimensiones. Todos son conceptos ideales y abstractos de nuestra experiencia cotidiana.

La reflexión anterior me sugiere una pregunta: ¿Las matemáticas se descubren o se inventan? El teorema de Pitágoras funciona para los triángulos rectángulos que son pero no existen, por tanto son un invento. El matemático no es un arqueólogo ni un buscador de tesoros, es un filósofo, un pensador y casi siempre lo hace en abstracto.

Mis palabras están refrendadas porque los más grandes matemáticos de la historia han sido filósofos: desde los griegos hasta Bertrand Russell, la matemática ha sido pura filosofía.

Pensad en los números. En el número 2. Por si solo el número dos no existe, simplemente es la abstracción sintética de aquellos conjuntos con un par de elementos. Hasta me resulta difícil definir el 2. Tengo que recurrir a la expresión “un par” que en realidad es lo mismo.

Es la capacidad de abstracción y la imaginación lo que nos diferencia de los animales y sobre todo poder manipular nuestras ideas de un modo tan preciso y precioso.

 

Los dados de Dios son una metáfora con la que Einstein quiso poner de manifiesto que no hay azar en la creación, que todo responde a un orden exquisitamente diseñado por un ente superior, no necesariamente de naturaleza divina, sino incluso de índole material. Su capacidad de abstracción nos abrió las puertas de una ciencia que se creían cerradas desde Newton. Cuando éste último escribió su tratado donde por primera vez apareció la ley de la gravitación universal, la famosa ley más conocida por la manzana que cayó del árbol, (la segunda manzana más famosa de la historia después de la de Adán y Eva), los científicos creyeron que no había nada más que descubrir. La Física era un capítulo cerrado. Pero llegó Einstein, y como un Indiana Jones nos abrió mundos que estaban ahí desde siempre e intentó explicarlos, teorizando sobre la mecánica cuántica que no casaba en muchas ocasiones con la mecánica clásica postulada por Newton. Dejemos de venerar tanto a Newton. Yo no le quito su mérito pero era un plagiario y un ladrón de ideas. Le robó a Raphson su método para resolver ecuaciones no lineales y ahora el procedimiento se llama método de Newton-Raphson. ¿Y por qué? porque la presencia de Newton en la denominación del método le da mucho empaque. Es como si yo ahora me dedicase a fabricar refrescos de cola y les llamase Coca Cola Ramos, porque lo de Cola Ramos, aparte de quedar muy feo, no llamaría la atención en absoluto. Por desgracia para mi fábrica de refrescos, Coca Cola tiene el nombre registrado y estaría cometiendo un delito. Pero con Newton cualquier atisbo de delito ha prescrito, excepto que al juez Garzón se le dé por pedir su certificado de defunción e intente esclarecer sus robos de ideas a sus colegas, transcurridos más de cuatrocientos años.

También se dice de Newton que inventó o descubrió (elegid el verbo que mas os guste) el cálculo diferencial, lo que vosotros conocéis por derivadas. A partir de ahí se desarrolla toda una rama de la matemáticas impresionante en la que no voy ahora a entrar. El caso es que se dice tímidamente, e insisto en lo de tímidamente, que Leibniz lo hizo al mismo tiempo. ¡Qué casualidad! Tantos siglos sin la Coca Cola y llegan dos señores y la descubren al mismo tiempo, y máxime cuando se carteaban entre sí. Hubo un litigio que perdió Leibnitz y el pobre murió amargado, mientras que el farsante de Newton que, aparte de las matemáticas, se dedicaba al estudio de la Biblia, decía que la creación del Universo fue el día tal del año cual y nuestra civilización riéndole esas gracias y considerándolas pecata minuta comparado con la ciencia que nos había proporcionado, robada a saber a quién. Como podéis comprobar experimento una cierta animadversión por Newton. Sí, me cae mal. Eso de nombrarlo Sir  y verlo representado con peluca me chirría. Me gusta más el retrato de Gaulois, un crío imberbe que se pasó la noche previa a un duelo en el que murió, por alguien que probablemente no valiese la pena, escribiendo la teoría que lo haría famoso al paso de los siglos, o Ramanujan, un pobre indio casi analfabeto que por casualidad cayó en sus manos el libro los elementos de Euclides y logró demostrar todas las proposiciones que en el libro venían enunciadas y no demostradas, convirtiéndose en pocos años en un fenómeno del cálculo numérico.

A lo que íbamos: ¿Dios juega o no juega a los dados? Evidentemente no. Einstein tenía razón, como siempre.

José M. Ramos

23 dic 2015

¡Feliz Navidad!



31 dic 2014

Problema típico


En la granja de María
las gallinas picotean
y a coro cacarean
anunciando el nuevo día.

Conejos corren a pares
y si realizas la cuenta
obtendrás unas doscientas,
en total, extremidades.

A la hora de contar
las aves más los conejos
un número aquí te dejo:
Setenta, que es cifra par.

Ante tales datos dados
comprobemos si adivinas
la cantidad de gallinas
que pululan por el prado.




Y ya puestos en faena
no sería mal consejo
que me digas los conejos
que hay en este problema.

Puedes cambiar los datos
y donde gallinas caben
se puede cambiar el ave
por ocas, gansos o patos.

Los conejos o conejas
podrían ser transformados,
en el presente enunciado,
en corderos o en ovejas.

Solo patas y espolones
hay que considerar,
tan solo has de plantear
un sistema de ecuaciones.

J.M. Ramos  Pontevedra, 31 diciembre 2014.


27 nov 2013

Poesía Matemática



POESÍA MATEMÁTICA
(Remitida por León y M. Luciente, y dedicada a una de las “dos viudas consoladas”)


El verso y las matemáticas
expuestos en una idea,
son nuevos en nuestro siglo,
y yo voy a hacer la prueba
de la casquivana musa
mezclar, con la exacta ciencia,
y refundir un romance
con el siguiente problema:
Murió un padre de familia
(¡pobrecito… qué ocurrencia!)
dejando una cantidad
en casa de banca impuesta,
que rentaba el diez por ciento
mientras en ella estuviera;
con la condición precisa
de que se hiciese la entrega
a todos los herederos
de la parte de la herencia
que, según la voluntad
del finado, les cupiera,
acumulando los réditos
del capital en sus cuentas.
Transcurridos los dos años,
el primer pariente llega,
y le dan justa su parte:
seis mil cincuenta pesetas.

A los tres años llegó
por su cuenta una heredera,
que no porque era mujer
se le iba a dejar por puertas,
y la dieron a la pobre,
justas, ocho mil seiscientas
cincuenta y una beatas
y con céntimos cincuenta.
Transcurre un lustro, y al fin
el último de ellos llega,
y aunque fue tarde y con daño
le dan su parte en pesetas
dieseis mil ciento cinco
con diez céntimos… en perras.
Si el verso no ha complacido
y gusta, en cambio, la idea,
en solucionar el caso
calentarse la cabeza,
¡oh lectores del HERALDO
versados en artimética!,
diciendo qué cantidad
formó el total de la herencia,
y el modo de repartirse
que el difunto dispusiera.


Publicada en el Heraldo de Madrid, 17 de abril de 1903.

SOLUCIÓN: Capital total: 21500. Distribución: 1º hijo: 5000; 2º hijo: 6500; 3º hijo: 10000


5 ago 2013

Problema



Tomados tres naturales
que sean consecutivos,
ni muy grandes ni cativos,
y por supuesto no iguales

y al cubo son elevados
que, como todos sabéis,
se trata de elevar a tres,
y sumo los resultados,

Haga sol o llueva o nieve
lo que se obtiene al final
es otro valor natural
que es un múltiplo de nueve.

 
(n-1)3+n3+(n+1)3  = múltiplo de 9

Demostración (por inducción)

Cierto para n=1, puesto que 9 es múltiplo de 9
Lo suponemos cierto para n-1, esto es:

(n-2)3+(n-1)3+n3 es múltiplo de 9
n3-6n2+12n-8+n3-3n2+3n-1+n3 es múltiplo de 9
2n3-9n2+15n-9 es múltiplo de 9
2n3-9n2+6n+9n-9  es múltiplo de 9
2n3+6n es múltiplo de 9, que es nuestra hipótesis de inducción.

Lo probaremos para n

(n-1)3+n3+(n+1)3=
n3-3n2+3n-1+n3+ n3+3n2+3n+1 = 2n3+6n-9
Como por la hipótesis de inducción
2n3+6n es múltiplo de 9, entonces 2n3+6n-9 es múltiplo de 9, como queríamos demostrar.

José M. Ramos González. 
Cádiz, agosto 2013 

24 mar 2013

Diálogo Geométrico




Pieza cómica en un acto

PERSONAJES
Un triángulo, una circunferencia, Pitágoras, coro de reglas y compases.

Escena única

Un triangulo rectángulo se encuentra apoyado sobre su ángulo recto. Frente a él, mirando hacia la hipotenusa, se encuentra una circunferencia. Pitágoras los observa fascinado.


TRIÁNGULO
Me encuentro desconcertado
Ante tu redondo cuerpo
Pues por mucho que me esfuerzo
No veo ni un solo lado.
Y esas curvas tan angélicas
y bonitas me enamoran
Supongo que a ti te adoran
Muchas figuras geométricas.
De vértices tienes cero,
Por lo que tu contacto
Seguro será de facto
Un roce muy placentero.
Súbete a mi hipotenusa
y déjate luego caer
te producirá placer
¡ya verás como te gusta!

CIRCUNFERENCIA
Te voy a decir amigo
Y no de muy malos modos,
Que de los polígonos todos
Tú eres el más sencillo.
Y para colmo de males
Tus lados son discordantes
No resultan elegantes
Pues no los tienes iguales.
No me gustan los objetos
Que presumen de palmito
Sin tener nada bonito
Y no ser nada perfectos.
Y un detalle pequeñito
Que quede claro yo quiero:
Vértices no tengo cero
Sino que tengo infinitos.

PITÁGORAS
Está en lo cierto, es verdad
Que si vértices aumento
Sin parar el incremento
Hasta infinito llegar
El polígono regular
Se torna circunferencia
Eso me dice la ciencia
Que me sale al razonar.
Sin embargo mis sentidos
Contradicen ese aserto
Porque si miro yo advierto
Que los vértices se han ido
Por tanto concluyo y grito
que todo vuélvese confuso
sobre todo cuando uso
el concepto de infinito.

TRIÁNGULO 
 (Dirigiéndose a la circunferencia)
¿Qué no soy perfecto dices?
Craso error el que cometes
No me pongas en un brete
ni me toques las narices.
Te daré una información
Que es muy veraz y muy plena
Y es que existe un teorema
Que fama me proporcionó.
¿Que soy inelegante yo?
No me digas esas cosas
Tengo una relación hermosa
Que Pitágoras halló.
Si tomamos mis tres lados
Tenemos una igualdad
Que resulta una beldad
Elevando a sus cuadrados.
¡Pitágoras, sal de tu ensueño
Enuncia ese resultado
Que relaciona mis lados
Y ponle un poco de empeño!

PITÁGORAS (enfático)
En un triángulo dado
que tenga un ángulo recto
formado por dos catetos
que son a y b llamados,
enfrente está otro lado
que se llama hipotenusa,
que normalmente se usa
la c para ser indicado.
Y entre estos tres lados
existe una relación
famosa sin parangón
que yo mismo he demostrado:
La suma de los cuadrados
de los catetos a y b,
no hace falta tener fe
para creer que el resultado,
como dice el teorema,
es igual por lo que sé
a la hipotenusa c
cuando al cuadrado se eleva.

CIRCUNFERENCIA
Todo eso es baladí
Y darías mucha pena
si irrumpiese en escena
un número llamado pi.

PITÁGORAS
En la historia de la ciencia
Y pese a mi amplia cultura
¿De que habla esa figura
Que se me escapa su esencia?
¿Cómo se explica que a mi
Que soy hombre puro y recto
Se me oculte por completo
Ese tal número pi.
Tal vez de Pitágoras venga
Y me honren de repente
llamando pi a ese ente
que alguna magia contenga.


CIRCUNFERENCIA
Poco a poco, poco a poco
que cuando pi sea visible
es muy, pero muy posible
que el hombre se vuelva loco.
Pues es número especial
De infinitos decimales
Y para colmo de males
Es número irracional.
Pese a muy doctos ser
Y genios en Geometría
No os encontráis todavía
Preparados para él.

PITÁGORAS
Dime circunferencia pura
Por qué se me niega a mi
Descubrir a ese tal pi
Que ronda por tu figura.


CIRCUNFERENCIA
Confórmate con la gloria
Que el teorema te ha dado
Con tu nombre designado
pues pasarás a la historia.
Y para la ciencia futura
Dejemos a pi pendiente,
mientras tanto que se intente
Del círculo la cuadratura.
A ver si llega la ocasión
En que sepan los humanos
que lo que intentan es vano
pues no tiene solución.
Y precisamente ahí
En esa irresolución
Se encuentra la explicación
De la existencia de pi.

PITÁGORAS
¿Cómo no va a ser posible
Convertirte en un cuadrado
Te verás muy deformado
Pero parece factible.

CIRCUNFERENCIA
Aparte de no quererlo
Insisto que no te miento,
Y te repito por cientos
La imposibilidad de hacerlo.

TRIÁNGULO
No creo tu afirmación.
Si me aplasto me convierto
En una línea, por cierto
Cambiando de dimensión.
Es proeza cual ninguna
Que de dimensión dos
En lo que se echa una tos
Pase a dimensión una.

CORO DE REGLAS
Con nuestros palmitos rectos
Y tan longitudinales
Trazan todos los mortales
Segmentos que son perfectos.

CORO DE COMPASES
Con nosotros no hay quien pueda
Porque antes de nuestra presencia
¿Acaso existió la ciencia
Sin la invención de la rueda?

PITÁGORAS
Seréis pues lo que queráis
Pero muy a mi pesar
Curvas no puedo cuadrar
ni con regla ni compás.

REGLAS Y COMPASES
Son muchas nuestras funciones
A lo largo de los siglos,
Por eso constituimos
La enseña de los masones.
Y si cuadrar no es factible,
Un circulo con nuestras artes
En lugar de lamentarte
Piensa que es imposible.

TRIÁNGULO
Gracias regla, diosa mía
Enviada por los hados
Sin ti no tendría lados
Y no sé lo que sería.

CIRCUNFERENCIA
Oh gran compás muchas gracias
Que te sostienen dos patas
Una en el centro se aguanta
Y con la otra me trazas.

PITÁGORAS 
 (dirigiéndose al público)
A tantas lisonjas oír
Me da la impresión señores
Que me salen los colores
Y que me tengo que ir.

TODOS
Ya nos vamos del proscenio
Porque ya hablamos bastante
Ahora toca al estudiante
Valorarnos con su genio.

Se cierra el telón.


José M. Ramos González
Pontevedra, 12 enero 2013